Fenomenologia do Jogo 'Torre de Hanói'

Jogo 'Torre de Hanoi'. Fonte: Internet.

Acelino Pontes

(ex-Max Planck-Institut für Hirnforschung, Köln.

Estudos em Direito, Filosofia, Física, Matemática, Medicina, Psicologia e Teologia;

em Berlin, Fortaleza, Köln [Colônia], Lisboa e em München [Munique].)

Valberto Romulo Feitosa Pereira

(Professor de Matemática do Departamento de Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará- IFCE, Fortaleza-CE.)

Resumo: Este trabalho tem como objetivo apresentar uma reflexão sobre o processo de aprendizagem no Ensino Médio, a partir da utilização do jogo Torre de Hanói. Inicialmente é feita uma análise bibliográfica sobre o tema, destacando as opiniões de vários autores. Esta metodologia utiliza-se dos fundamentos do jogo Torre de Hanói para introduzir os princípios das funções, explorando a lenda que envolve o jogo.

Palavras – Chaves: Função. Torre de Hanói. Ensino Médio. Aprendizagem. Fenomenologia.

Abstract: This work aims to present a reflection on the process of learning in High School, from the use of the Tower of Hanoi game. At first it is done a bibliographical analysis about the matter, highlighting the opinions of various authors. This methodology utilizes the fundamentals of the game of the Tower of Hanoi to introduce the principles of functions, exploiting the legend that surrounds the game.

Keywords: Function. Hanoi Tower. High School. Learning. Phenomenology.

Zusammenfassung: Diese Arbeit zielt darauf ab, eine Reflexion über den Lernprozess mittels die Nutzung des Turms-von-Hanoispieles. Zunächst wird eine Literaturübersicht zum Thema ausgearbeitet, welche die Meinungen verschiedener Autoren sowie eine Studie zum Thema hervorhebt. Diese Methode nutzt die Grundlagen des Spiels 'Turm von Hanoi', um die Prinzipien der Funktionen zu vergegenwärtigen und sogleich erschließend auf die Legende, die das Spiel umgibt.

Stichwörter: Funktion. Turm von Hanoi. Mittelstufe. Lernen. Phänomenologie.

1. Introdução

A necessidade do desenvolvimento de habilidades de raciocínio matemático, mediadas pelas estruturas matemáticas, se mostra um dos grandes desafios da atualidade no âmbito da Licenciatura em Matemática.

De outro modo, o estudo da matemática não é apenas caracterizado pelo estorvo, mas fundamentalmente, deve enfeitar-se também de satisfação e de alegria. Introduzir-se na aventura da matemática é a grande cantadela para o estudioso da tão somente ciência do raciocínio lógico e abstrato.

A valoração extrema do eruditismo linguístico na matemática não só tem afastado a juventude, como também a maioria esmagadora dos adultos do aplicar-se aos estudos da matemática.

As linguagens da matemática jamais poderão sobrepor-se ao raciocínio lógico e abstrato. De maneira oposta, nos ensina a história dessa fascinante ciência, que a lógica e a abstração constituem os seus elementos fundantes, desde de tempos imemoriais.

A matemática distingue-se com uma idade vetusta. Ela medra na Mesopotâmia, Índia e China, precedendo a Antiguidade. Caminhando pela História, encontramo-la, agora já na Era Antiga, na Grécia e à expressão do Helenismo. Daí, assume a incumbência da orientação da comprovação lógica pura e da axiomatização, nomeadamente da geometria euclidiana. À Idade Média ela se deixa acolher pelo Humanismo nas universidades e no mundo árabe. No início da Modernidade, François Viète inaugura o uso de letras como variáveis e René Descartes abraça o uso de coordenadas como possibilidade de acesso à geometria. A descrição de tangentes e o cômputo de área encaminha o cálculo infinitesimal de Gottfried Wilhelm von Leibniz e de Isaac Newton.

O enigma fundamental, ao início da Idade Moderna, situa-se no contorno da solução das cada vez mais sofisticadas equações algébricas. Para a abordagem dessa problemática, articulam Niels Henrik Abel e Galois Évariste o conceito de grupo e as relações entre as simetrias de um objeto.

Figura 1: Papiro de Rhind do Antigo Egito, cerca de 1.650 a.C. Fonte: Wikipédia.

As linguagens da matemática servem à elucidação e à descrição de sistemas, de algoritmos, ou simplesmente de fatos. Entretanto, essencialmente, contribuem na formulação de ideias na resolução criativa de problemas, tanto quando na descrição e mensuração do mundo real e do transcendental.

2. Modelo Matemático

Um modelo é uma representação de um objeto real que, por exemplo, através de dimensionamento e gradação ou por obliteração de detalhes supérfluos, consegue revelar propriedades especiais de uma investigação. (Hinz, 1999, p. 278)

Presumivelmente, o enigma sub analisis procede de uma lenda contada em 1883 pelo matemático francês François Édouard Anatole Lucas, que narrava encontrava-se num templo Hindu, na cidade indiana de Benares, 64 discos preciosos de ouro, criados por Brahma, empilhadas numa torre e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Cada disco seria ligeiramente menor do que o disco sobre o qual repousava. Uma ordem religiosa, composta por 64 monges, foi incumbida por Brahma, consideradas algumas regras sagradas, de mover a torre de discos para um outro local do templo. As regras eram simples: apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem transferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria.¹

A historieta ainda relata que os monges devem resolver o problema de uma determinada forma: Ao monge mais antigo é dada a tarefa de mover a torre de 64 discos. Como ele não consegue operar a complexa tarefa, incumbiu o segundo mais velho dos monges a tarefa de colocar os 63 discos acima do último para um local auxiliar. Ele mesmo, o mais velho, iria então, mover o último e maior disco para o destino. Em seguida, o segundo mais antigo moveria os 63 discos do local auxiliar para o destino final.²

O dito monge segundo mais velho também ver-se incapaz de lidar com a tarefa. Ele encarrega o monge terceiro mais velho com o transporte dos 62 discos acima do penúltimo para o destino final. Ele mesmo, o segundo mais antigo, moveria então o penúltimo disco para o local auxiliar. Finalmente, ele voltaria a designar o dito monge terceiro mais velho para o transporte dos 62 discos restantes do local de destino para o local auxiliar. E isso, continua até que o monge mais novo, o último dos 64 monges, recebe o encargo de mover o menor disco para o destino, que resta solitário no topo de um dos lugares restantes. Visto que, o mosteiro conta com 64 monges e todos dispõem de muito tempo, eles podem realizar a tarefa em finito, ainda que, por demais longo tempo. (Ibid.)

À análise desse fenômeno, alvitra-se a transição para um modelo matemático, onde todas as propriedades de interesse e questões são reduzidas em objetos matemáticos e em expressões abstratas. Empós, essas últimas são submetidas à análise matemática, de cujos resultados, por sua vez, podem perpassar pela interpretação ao objeto real. (Hinz, 1999, p. 278)

Nesse caso, computa-se com o número natural n o número de discos, que se passa a numerar do valor 1 ao numeral n. Se então, forem denominadas as hastes, da Torre de Hanói, como endereços 0, 1 e 2, cada localização regularmente realizável será condicionada por uma n-haste s  {0, 1, 2} , se s_d for a haste na qual o disco d  {1, ….., n} se encontra localizado, posto que a disposição dos discos sobre uma haste é determinada pela regra divina. (Ibid.)

Para a análise deste modelo, encontra-se todo o aparelhamento da matemática à disposição, como no exemplo da indução, um princípio de prova matemática, que retoma o acima retratado método da recursão.

Considerada a expressão A(n) para o número natural n  N_O para n = 0 como verdadeira, e se, ademais, sempre se puder concluir que se A(n) então A(n + 1), assim a expressão é válida para todo n. No exemplo aqui tratado, A(n) é a expressão "o problema da torre de Hanói com n discos tem uma solução". Entre todas as soluções, deve haver (pelo menos) uma com uma sequência mínima. Além dessas expressões de existência, se mostram também relevantes as expressões de exclusividade. Se A(n) é a expressão "para n discos existe exatamente uma solução de mínima extensão”, assim A(0) é claro e, numa solução (mínima) para n + 1 discos o maior foi movimentado, pelo menos uma vez. Antes do primeiro e depois do último movimento de n + 1, a cada vez, uma torre com n discos terá que ser movimentada, assim que para a extensão mínima μ(n + 1) ≥ 2μ(n) + 1 é válido. Como a solução recursiva mostra, é pois também μ(n + 1 ) ≤ 2μ(n) + 1, então movimenta-se o maior disco exatamente por uma vez, posto que o disco maior move-se exatamente uma vez. Dessa forma, de A(n) segue A(n +1). Além disso, colhe-se afora uma desta expressão qualitativa, mais ainda, através da indução matemática, também uma quantitativa, nomeadamente μ(n) = 2ⁿ - 1. (Ibid.)

3. Da Metafísica do fenômeno ao transcendental

Como descreve Fritzsche (2014, p. 4) e com muita propriedade, no Jogo de Hanói observamos

três locais onde os discos podem ser colocados uns sobre os ou­tros. Na situação inicial encontra-se no local esquerdo um (em princípio arbitrário, mas finito) número de discos empilhados um por cima do outro. Todos os discos são de diferentes diâmetros e nunca há um disco sobre um outro com diâmetro menor. O objetivo con­siste em empilhar os discos da pilha sobre o assento do meio, de forma idêntica, entretanto os discos só podem ser transportados indivi­dualmente. O local direito serve como entreposto de escape durante os transportes. Durante os transportes também nunca pode ocorrer que um disco seja colocado sobre outro com diâmetro me­nor. Se deve especificar em qual ordem determinado disco seja transportado para qual pilha, para alcançar a meta.

A mensuração do tempo necessário para solução do problema dependerá fundamentalmente do número de discos. Quanto maior for o número de discos, maior será o número de processos de transporte dos discos de um local para o outro, redundando assim numa complexidade algorítmica de extensões com soluções intrafegáveis.

Na solução do problema, a título de regras do jogo, considera-se o seguinte:

1. Deve-se sempre mover apenas um disco a cada momento. Nunca dois ou mais.
2. Pode-se apenas colocar um disco menor sobre um maior, nunca vice-versa.
3. Como meta, deve-se sempre tomar somente o disco de cima, nunca um que esteja situado abaixo do ao topo da torre.
4. Cada disco deve sempre ser colocado diretamente sobre o que se encontra no topo de uma torre e o que já se encontra no topo, nunca deve ser deixado de lado, ser retirado ou inserido.
5. Habilidosamente, deve-se movimentar os discos de uma torre para outra até chegar ao destino final. Tenta-se fazer isso com o menor número de movimentos.

Figura 2: Solução do jogo com 3 discos.Fonte: internet.

Na solução do enigma vislumbra-se a propriedade de que cada instância do problema contém uma instância menor do mesmo problema, qual seja, possui uma estrutura com a qualidade recursiva. Daí, avista-se a aplicação do método do algoritmo recursivo, de tal forma que se a instância avaliada é pequena, resolva-a diretamente, senão, a reduza a uma instância menor do mesmo problema, aplique o método à instância menor e volte à instância original.

Num esforço de 'matematizar' o problema, Werner, (2012, p. 72 -74) intitula os 3 pinos do jogo pelas letras A, B e C. Parte então por caracterizar os respectivos transportes como X→Y, qual seja o transporte do disco superior do local X para o local Y, considerando, naturalmente, que X e Y são diferentes e cada um representa um local A, B, C. Considere-se ainda que existe um total de 6 transportes possíveis.

Werner, em sua conjectura, designa uma movimentação como Z := X → Y. Exemplicando a solução para n = 3, o autor divisa 7 transportes: Zj, j = 1, 2, ..., 7: Z1 := A → B, Z2 := A → C, Z3 := B → C, Z4:= A → B, Z5 := C → A, Z6 := C → B, Z7 := A → B.

Figura 3: O jogo Torre de Hanói, também conhecida por torre de bramanismo ou quebra-cabeças do fim do mundo, foi comercializada a partir do ano de 1883, como brinquedo, pelo matemático francês Edouard Lucas. Segundo seu relato, este jogo era de domínio popular tanto na China, como no Japão e advém do Vietnã (capital é Hanói, que lhe dá o nome). Fonte: Internet.

Dessarte, chega Werner à seguinte generalização do problema: se executados m transportes sequenciais, assim se chega uma série de transportes, resta formada a sequência de transportes com uma expressão sucessória de m termos. Este fenômeno pode-se anotar como m-múltipla de transportes F:= (Z1 , Z2 , ..., Zm), nos quais se atua da esquerda para a direita. Cada termo Zj é uma movimentação expressa pela fórmula X → Y. Dois termos F1 e F2 podem ser executados sequencialmente, a nova sucessão será anotada como F1, F2, quando será executado primeiro o termo F1 e, em seguida, o termo F2. Naturalmente, deve ser observado que jamais um disco de diâmetro maior seja colocado sobre um de diâmetro menor.

Ainda seguindo o raciocínio de Werner e considerando o já demonstrado anteriormente no caso de n = 3, vimos que a solução assim se expressa:

(Z1 , Z2 , ..., Z7) := (A → B, A → C, B → C, A → B, C → A, C → B, A → B) (3.1)

Assim, o problema em face de um n qualquer recebe solução, quando se toma uma sequência n, X, Y, porquanto subjugado a F(n, X, Y), que transporta uma n-torre do local X para o local Y, onde X e Y representam os locais A, B ou C; ao mesmo tempo, considerado que Z seja o terceiro local de X e Y e diferentes entre si. Exemplificando:

F(1,X, Y) = X → Y, F(2,X, Y) = (X → Z, X → Y, Z → Y),

onde Z é o terceiro lugar ao lado de X e Y, até o caso de n = 3 já é complicado por demasia, como vemos a seguir (ibid., p. 73):

F(3, X, Y) = (X → Y, X → Z, Y → Z, X → Y, Z → X, Z → Y, X → Y).

Aqui se pode arguir uma comparação com (3.1), desde que se substitua X por A, Y por B e Z por C. Substancialmente, uma função que atribui às três variáveis n (um numeral), bem como confere a X e Y (dois dos três locais A, B ou C) uma sucessão, que, da forma correta, movimenta a n-torre do local X para o local Y.

Nessa linha de pensamento, nos ensina Werner (Ibid.) que se pode conceber F(n + 1, A, B) recursivo com arrimo de F(n, X, Y) considerado X, Y = A, B ou C. Por conseguinte, se pode precisar, indutivamente, uma estratégia, que produza a solução seguinte:

F(n + 1, A, B) = (F(n, A, C),A → B, F(n, C, B)). (3.2)

No vernáculo pátrio, se expressa (4.2) do seguinte feitio: para movimentar em (n + 1) torres de A para B, primeiro você move os n discos de A para C, o que significa a configuração da sequência de movimentos F(N, A, C). Daí, se posta o último (e maior) disco de A para B, que indica ser este o movimento A → B. Na sequência, se move a n-torre de C para B (utilizando a norma de movimentação F (n, C, B)).

Agora, está claro como verificar o número de movimentos necessários para n-discos no jogo Torre de Hanói. Se considerado este número de movimentos como Kn, então nos dirá a recursão (3.2) que

K_n+1 = 2Kn + 1.

Já que, K₁ = 1, se pode facilmente comprovar que K_n = 2ⁿ − 1 (ibid., p. 74).

Daí, considerada a possibilidade de existência de solução tanto iterativa como recursiva, pode-se calcular, ao uso do mecanismo da equação de recursão acima descrito, as seguintes previsões de movimentações, considerada a duração de 1 segundo para cada movimentação, conforme demonstra a tabela abaixo:

Tabela 1: Cálculo da duração de movimentos no Jogo de Hanoi.

A utilização prática desse mecanismo tomamos de Wegner (2010, p. 22), que na busca de explicações sobre o Princípio da Rotação na estruturação das mídias de backup (informática), procura fundar suas teses no Jogo de Hanói. Confrontando a alternação da realização de backups por dia e por semana, nos indica que neste procedimento, cada arquivo é salvo duas vezes por semana, aumentando assim a segurança do sistema, particularmente nos casos de defeitos físicos. (Ibid.)

Stober (2011) utiliza-se da mesma ferramenta na área da didática da informática, a título de desenvolvimento de currículos de aula, colhendo grandiosos resultados com o elevado rendimento dos alunos.

Mas, o uso do mecanismo do jogo tem larga aplicação na informática, em especial nas suas diversas linguagens, conforme tomamos da figura a seguir, que ilustra a estrutura do jogo, bem próxima à estrutura de programação na informática:

Figura 4: Estruturação dos movimentos no Jogo de Hanoi conforme o número de discos (Scheiben).

Fonte: Internet.

Ao examinar as tabelas na Figura 4, toma-se que a sequência de movimentos da tabela da esquerda ocorre duas vezes mais em cada tabela da direita. Isso, também se pode formular da seguinte forma:

Para transportar uma torre de n discos de A para B, tem-se que transportar uma torre com n-1 discos de A para C, em seguida, coloque o maior disco de A em B, e, finalmente, movimentação a torre com n-1 discos de C para B.

Este preceito inclui o algorítimo com a dupla recursão. A movimentação de uma torre de n discos é reduzida a duas vezes a movimentação de uma torre de discos com n-1 e nesse processo, o maior disco é alocado. Na internet se pode encontrar várias representações desse famoso algoritmo, muitas vezes com respectivas animações.

Entrementes, não se deve esquecer que o uso desse fenômeno no ensino fundamental e secundário é por demais importante, como nos indica Costa ([s.d.], p. 362:

Torre de Hanói se caracteriza por ser um jogo que possui aplicações que podem ser basicamente usadas em escolas por professores que desejam melhorar e desenvolver o cognitivo de seus alunos, podendo ser aplicado em pequenos grupos ou individualmente além de proporcionar possibilidades de implementação de algoritmos matemáticos que se baseiem em suas regras. Por possuir regras simples e de fácil assimilação se adapta a diferentes níveis de ensino, sendo possível a sua utilização tanto no nível fundamental como médio ou até mesmo no ensino superior, em programação, indução finita e exemplos de recursividade e outros. A possibilidade de um trabalho envolvendo indução finita é muito interessante, mas o que chama mais a atenção são as possibilidades didáticas e lúdicas de ideias matemáticas que a principio não são percebidas.

Num estudo empírico realizado com crianças com deficiência mental, Costa et all (2012, p. 1954) chegam às seguintes conjecturas:

A diferença estatística significativa entre as médias de resultados dos pré-testes e pós-testes (antes e depois da intervenção), principalmente na tarefa de maior complexidade – ou seja a torre com 5 discos- nos levou a admitir que a abordagem da avaliação interativa – via jogos eletrônicos – contribuiu para a plasticidade cognitiva, a transcendência da aprendizagem, a auto-regulação e a mediação de sentimentos de competência entre os alunos com deficiência intelectual. O trabalho rompe com a prática de ensino com base na lógica do concreto e na repetição alienante que nega o acesso da pessoa com deficiência intelectual ao plano do abstrato e simbólico da compreensão. Ao estimular o aluno com deficiência intelectual a avançar na sua compreensão, criou-se impasses e situações de conflitos cognitivos saindo de uma posição passiva e automatizada, diante da aprendizagem para o acesso e apropriação ativa do próprio saber. Evidenciaram-se os significados que a cultura midiática e o espaço lúdico – via Jogos eletrônicos – assumem nos processos de subjetivação e de inclusão social.

Outro aspecto importante do uso do jogo no ensino da matemática, tomamos de Drabeski ([s.d.] , p. 20):

Ao concluir esta pesquisa pôde-se observar que os métodos tradicionais no ensino da matemática já não têm despertado mais o interesse dos alunos. É preciso, sem dúvida, buscar alternativas. E uma destas alternativas pode ser o uso de jogos em sala de aula. Esta prática, se bem trabalhada, possibilitará ao professor maior interação com a turma e um ensino mais dinâmico e atraente e ao aluno a possibilidade de discussão e uma aprendizagem significativa.

Decididamente, as Escolas de Ensino Superior na área da matemática têm desprezado in totum essa grande ensinamento dos colegas paranaenses acima elucidado.

4. Conclusão

Retomando uma lenda antiga que raconta que num templo hindu, Brahma construíra 3 pilares e num dos pilares extremos colocou 64 discos de ouro, que deviam ser movidos, um a um, para o outro pilar extremo sem nunca colocar um disco maior sobre um disco menor, realizada, então a tarefa o templo colapsava e seria o fim do mundo, se chega ao dimensionamento e descrição matemático do fenômeno historicizado.

Ao depreender a análise abstrato-lógica do enigma, observa-se claramente que metodologia ao ensino da matemática se mostra com qualidade ancestral e já não tem o poder de excitar nos alunos interesse, com menor propriedade ainda, propalar o arrebate de entusiasmo apaixonante. Indubitavelmente, urge que se esquadrinhe outras tangentes ao atual método de ensino. Nessa tendência, adelgaça-se a vereda do uso de jogos em sala de aula. Essa tarimba do lúdico no tirocínio em sala de aula acarrea uma interação intensa e abrasadora do discípulo com o aprender e o com o mais alto incremento da capacidade de abstração lógica, enfim, da matematização.

Assim, a partir da descrição e análise da situação de jogo, podemos trabalhar o conceito de sequência numérica e observar o crescimento de funções e o processo de construção da linguagem matemática e o conceito de variáveis. Exsurge daí, o estabelecimento de estratégias de movimentação das peças do jogo, tanto na mensuração dos movimentos como no avançar ao raciocínio indutivo. Debutando com um número menor de discos, qual seja, solucionando um problema mais rateiro, se segue a trilha da condição de se experimentar exuberantes formas de raciocínio matemático.

Análoga provocação reside na mensuração do menor número possível de movimentos em cada jogada para alcançar o propósito ventilado, assim como obter a associação entre esse número e o número de discos empregados.

Enxertando na continência de Números e de Funções, a descoberta de padrões algébricos, que conduzem um fato ou um experimento (ou inclusive, um jogo como aqui indigitado), se mostra relegado a um segundo plano a sobreeminência do raciocínio lógico abstrato. Ademais, o aprofundamento nas argumentações e abstrações pertinentes à validação desses padrões, em geral, não são particularizaridos com os alunos, atravancando o concurso do discente na ideação do conhecimento.

Resta esclarecer que, o que afugenta o homem da matemática, não é a matemática em si, nomeadamente o raciocínio lógico abstrato, mas tão somente as suas linguagens; pelo contrário, ao exemplo do jogo 'Torre de Hanoi' demonstra-se facilmente que a matemática fascina o homem.

5. Referência Bibliográfica

Andrade, Doherty: Lenda do Jogo a Torre de Hanoi . UEM-Brasil , 2000.Disponível em: <http://www.dma.uem.br/kit/arquivos/arquivos_pdf/lenda.pdf>. Acesso: 27.08.2014 09:41.

Breda, Adriana; Hummes, Viviane Beatriz; Lima, Valderez Marina do Rosário: Torre de Hanói virtual e a construção do conceito de Função Exponencial no Ensino Médio. Novas Tecnologias na Educação, V. 11 No 1, julho, 2013 , CINTED-UFRGS, p. 1-9. Disponível em: <http://seer.ufrgs.br/renote/article/viewFile/41693/26446>. Acesso: 27.08.2014 10:12.

Castellano, Luis Balbuena : Las Torres de Hanoi y el Mandato de Brahma. Revista SIGMA No 28 • SIGMA 28 zk., Mayo 2006 • 2006ko Maiatza , 83-94. Disponível em: <http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43-573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_28/9_torres_hanoi.pdf>. Acesso: 26.08.2014 12:05.

Coelho, Cristina Lúcia Maia; Bastos, Claudio Lyra; Cavalcanti, Aline de Oliveira; Alves, Lucas de Castros; Caetano, Isabel; Palmeira, Laura Germana M. S.; Silva, Evandro Guilherme R. da: Torre de Hanói: O Espaço Lúdico como Intervenção Psicopedagógica com Alunos Nees . II Congresso Internacional TIC e Educação , 1954 -1972, Lisboa, Portugal, 30.11-02.12.2012 . Disponível em <http://ticeduca.ie.ul.pt/atas/pdf/13.pdf>. Acesso: 26.08.2014 12:15.

Costa, Alexandre da: Torre de Hanói, uma Proposta de Atividade para o Ensino Médio . Curso de Licenciatura em Matemática – UNIOESTE .Disponível em: <http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2ALEXANDREDACOSTA.pdf>. Acesso: 27.08.2014 09:37.

Drabeski, Evaldo José; Francisco, Reinaldo: Estudo da Função Exponencial e a Indução Matemática com Aplicação da Torre de Hanói . Disponível: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/696-4.pdf>. Acesso: 26.08.2014 11:49.

Fritzsche, Hartmut: Programmierung - Skript zur Lehrveranstaltung . Fakultät Informatik/Mathematik. Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden. 2014. Disponível em: <http://www.informatik.htw-dresden.de/~fritzsch/VWA/VwaP/Programmierung_script_Fritzsche.pdf>. Acesso: 27.08.2014 11:34.

Hinz, Andreas M. : The Tower of Hanoi. in: Algebras and Combinatorics. Singapore: Springer, 1999. P. 277-289

Luiz, Kássio ; Santos, Lilian Renata dos ; NN, Marcelo ; Rodrigues, Salete : Jogos e Resolução de Problemas Torre de Hanói . Instituto de Matemática e Estatística. Univerdidade São Paulo. Disponível em: <http://www.ime.usp.br/~trodrigo/documentos/mat450/mat450-2001242-seminario-7-torre_hanoi.pdf>. Acesso: 27.08.2014 09:41.

Manoel, Luís Ricardo da Silva : Torre de Hanói . Disponível em: <http://www.ibilce.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/labmat/torre_de_hanoi.pdf>. Acesso: 27.08.2014 09:26.

Mendes, Iran Abreu; Bezerra, José Querginaldo: Instrumentação para o ensino de matemática III. Natal, RN: EDUFRN, 2009. 160 p.

Pereira, António; Rodrigues, Rosália : O problema das Torres de Hanoi: a lenda, algoritmos e generalizações. Disponível em: <http://sweet.ua.pt/rosalia/cadeiras/TAD/THpaper.pdf>. Acesso: 26.08.2014 11:30.

Rodrigues, Claudina Izepe; Rezende, Eliane Quelho Frota; Queiroz, Maria Lúcia Bontorim de : Torres de Hanói - Experimento. Disponível em: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1361>. Acesso: 27.08.2014 10:20.

Rufino, Elzimar de O. : Torre de Hanoi: jogando com a Matemática . Disponível em: <http://w3.dmat.ufrr.br/~elzimar/Torre.pdf>. Acesso: 26.08.2014 11:21.

Santos, Andrios Bemfica dos: Torre de Hanói - O jogo, a função exponencial e seu gráfico. Blog. Disponível em: <http://professorandrios.blogspot.com.br/ 2013/06/jogo-de-mesa-torre-de-hanoi-e-um-quebra.html>. Acesso:27.08.2014 10:03.

Santos, Carlos Pereira dos; Pedro Neto, João; Silva, Jorge Nuno: Os fractais + Puzzle ‘Torres de Hanói’ . Belém – PA: Norprint , 2007. Disponível em: <http://jnsilva.ludicum.org/hm2008_9/Livro5.pdf>. Acesso: 26.08.2014 11:41.

Shine, Carlos Yuzo: A Torre de Hanói . Aula ministrada na IV Semana Olímpica, Salvador – BA. Disponível em: <http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/artigos/hanoi.pdf>. Acesso: 27.08.2014 09:41.

Stober, Alexandra: Unterrichtsentwurf zur Thema „Die Türme von Hanoi“. Fachdidaktische Übung Informatik (Orientadora: Prof. Dr. Barbara, Elisabeth Kraus). Heidelberg: Rupert-Karls-Universität Heidelberg, 2011. 21 p. Disponível em: <http://www.informatik.uni-heidelberg.de/fileadmin/la/Fachdidaktik_

Informatik_Ausarbeitung_Stober.pdf>. 12.10.2014 10:58

Wegner, Dennis: - Backup & Restore - Konzepte, Strategien und Anwendungen von Einzelplatz bis Enterprise. Monografia (Orientador: Prof.Dr.-Ing. Torsten Finke). Essen: Fachhochschule für Oekonomie & Management, 2010. 99 p. Disponível em: <http://instant-thinking.de/images/diplomarbeit_backup_ und_restore.pdf>. Acesso em: 12.10.2014 10:26

Werner, Bodo : Mathematik für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen . Fachbereich Mathematik. Universität Hamburg, 2012. Disponível em: <http://www.math.uni-hamburg.de/home/werner/GruMiWS06TeilI.pdf>. Acesso: 27.08.2014 10:41.

Fale com o autor.

Para citar este documento (ABNT/NBR 6023: 2002):

PONTES, Acelino; PEREIRA, Valberto Romulo Feitosa: Fenomenologia do Jogo 'Torre de Hanói'. Praxis Jurídica, Ano III, N.º 01, 09.02.2016 (ISSN 2359-3059). Disponível em: <http://praxis-juridica.blogspot.com.br/2016/02/fenomenologia-do-jogo-torre-de-hanoi.html>. Acesso em: .

1http://pt.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Han%C3%B3i

2http://de.wikipedia.org/wiki/T%C3%BCrme_von_Hanoi.